Principais conceitos de uma P.A

Progressão Aritmética

É uma sucessão de números um após o outro que seguem um "ritmo definido".
É toda a sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
 
  Por exemplo:
    (2,5,8,11,14...)
  Nesta sequência, 3 é a razão da progressão aritmética.
    5=2+3
    8=5+3
    11=8+3
    14=11+3
     Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente ou constante.

    Exemplos:
    (3,4,5,6,7) é uma P.A. crescente, pois r=1>0, ou seja, os elementos estarão em ordem crescente.
    (10,8,6,4,...) é uma P.A. decresente, pois r=-2<0, ou seja, os elemtentos estarão em ordem decrescente.
    (5,5,5,5) é uma P.A. constante, pois r=0, os elementos serão todos iguais.

Representação de uma P.A

    A representação matemática de uma Progressão Aritmética é:
\(    a_{n+1}=a_{n}+r\)    ou   \(a_₂-a_₁=a_₃-a_₂=...=a_{n+1}-a_{n}=r\)
         Exemplo:
    Calcular r e a₅ na P.A.(3,9,15,21...)
    \(a_{n+1}=a_{n}+r\)         \(a_₅=a_₄+r\)
    9=3+r            \(a_₅=21+6\)
    r=6               \(a_₅=27\)  
     Logo, r=6   e   \(a_₅=27\)

Termo Geral de uma Progressão Aritmética

    Considere uma P.A. finita qualquer \((a_₁,a_₂,a_₃,...,a_{n})\) de razão igual a r, sabemos que:
    \(a_₂-a_₁=r→a_₂=a_₁+r\)
    \(a_₃-a_₂=r→a_₃-a_₁-r=r→a_₃=a_₁+2r\)
    \(a_₄-a_₃=r→a_₄-a_₁-2r=r→a_₄=a_₁+3r\)
    ....
   \( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
         Exemplo:
    Calcule o 16º termo de uma P.A., sabendo que \(a_₁=-10\); r=3.
    \(a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
    \(a_₁₆=-10+(16-1)3\)
    \(a_₁₆=-10+15.3\)
    \(a_₁₆=-10+45\)
    \(a_₁₆=35\)
    Logo, o 16º termo da P.A. é 35.

Soma dos termos de uma P.A. finita
     Se tivermos uma P.A. finita qualquer, usamos a seguinte fórmula para a soma de seus termos:
    \(Sn=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
         Exemplo:
    Determine uma P.A. sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a₈=79.
    n=8
    \(S_n=324\)
    \(a_₈=79\)
         \(S_n=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
    \(324=(((a_₁+79)8)/2)\)
    \(324.2=8a_₁+79.8\)
    \(648=8a_₁+632\)
    \(648-632=8a_₁\)
    \(16=8a_₁\)
   \( a_₁=((16)/8)= 2\)
         Agora precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
   \( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
    79=2+(8-1)r
    79=2+7r
    79-2=7r
    \(r=((77)/7)= 11\)
         Então a P.A. fica:
    (2,13,24,35,46,57,68,79)
    Soma= 2+13+24+35+46+57+68+79= 324