Bem Vindooooooos!

Olá pessoal!

Somos Alessandro, Caroline, Daniana, Élder, Joifer, Thailise e Tiago, acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul.

Criamos este blog como atividade da Prática Pedagógica que consiste na realização de um projeto de aprendizagem sobre Progressão Aritmética (P.A.) da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III, auxiliados pela Profa. Isolda.



Ao longo da vida, estamos o tempo todo rodeados de fenômenos da natureza e, se prestarmos um pouco de atenção, vai nos surpreender com sua regularidade. Sendo o objeto da Matemática justamente o estudo dessa regularidade, à medida que se constata haver um padrão de comportamento comum a diferentes situações fenomênicas, a pesquisa é desenvolvida e as descobertas ampliadas. Sendo assim, esses padrões se transformam em representações numéricas, que são a expressão da Matemática.
Por exemplo, pode se observar o formato das flores, a quantidade de pétalas, o desenho que aparece nas frutas quando são cortadas transversais ou longitudinais. Conclui-se que há uma disposição tão perfeitamente simétrica que não conseguirá ficar indiferente. Ai surge a sequência de Fibonacci.
Fibonacci foi o nome com o qual o matemático Leonardo Pisano ficou conhecido. Ele contribuiu para o desenvolvimento da Matemática em diversas pesquisas, como sistematização dos algarismos arábicos, a publicação do Livro do Ábaco e a descoberta da sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci consiste em uma sequência de números que começa por 0 e 1 sendo, daí por diante, cada número determinado pela soma dos dois anteriores.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...

Isso nos mostra como é o comportamento de uma Progressão Aritmética, que trataremos neste blog, buscando desenvolver conceitos, exemplos, que facilitem o aprendizado.




.... NUNCA DISCUTA COM UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA...
... ELA SEMPRE TEM RAZÃO!!!

domingo, 28 de novembro de 2010

Exercícios

1) De

termine o 61º termo da PA (9,13,17,21...):

a1=9
a2=13
r=?
a61=?
Como temos a1 e a2 podemos encontrar r:
a2=a1+r
13=9+r
13-9=r
r=4
Agora substituindo na fórmula do termo geral an=a1+(n-1).r , temos:
a61=9+(61-1).4
a61=9+(60).4
a61=9+240
a61=249


2) Determinar o número de termos da PA (4,7,10,....,136)
a1=4
a2=7
an=136
r=?
n=?
O primeiro passo é encontrar a razão ,depois é só substituir na fórmula do termo geral e encontrar n:
a2=a1+r
7=4+r
7-4=r
r=3
Substituindo:
an=a1+(n-1).r
136=4+(n-1).3
136=4+3n-3
136+3-4=3n
135=3n
n=135/3
n=45

3) (ITA/200) O valor de n que torna a seqüência (2+3n,-5n,1-4n) uma PA pertence ao intervalo:
a) [-2,-1]
b) [-1,0]
c) [0,1]
d) [1,3]
e) [2,3]
a1=2+3n
a2=-5n
a3=1-4n
Para que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação de definição de PA):
a2=a1+r
-5n=2+3n+r
-5n-3n-2=r
r=-8n-2 e


a3=a2+r
1-4n=-5n+r
1-4n+5n=r
r=1+n

Determinando o valor de r:
-8n-2=1+n
-8n-n=1+2
-9n=3
n=3/-9
n=-1/3

Logo a resposta correta é a alternativa b.

4) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187.Qual a soma dos trinta primeiros termos:
a1=100
a30=187
n=30
s30=?
Aplicando a fórmula da soma S_n=(a_1+a_n).n/2 temos:
s30=(100+187).30/2
s30=(287).15
s30=4305

5) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
a1=21
r=7
a12=?
n=12
s12=?
Calculando a12 utilizando a fórmula do termo geral an=a1+(n-1).r temos:
a12=21+(12-1).7
a12=21+(11).7
a12=21+77
a12=98
Agora é só substituir na fórmula da soma sn=(a1+an).n/2
s12=(21+98).12/2
s12=(119).6
s12=714

6) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. ( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
Sn=(16n – 2n2) / 10
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.

7) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
Ora, se x + 1, 2x , x^2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x^2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x^2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x^2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x^2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas.

8) UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
7- Determinar o déscimo segundo termo da P.A. (3,5,7,...).
\(a_1=3\)

n=12
\(a_{12}= ?\)
Calculamos a razão:
r=5-3
r=2
Substituímos estes valores na fórmula do termo geral :
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{12}=3+(12-1)2\)
\(a_{12}=25\)
8 - Determinar o primeiro termo de uma P.A. em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5.
\(a_{20}=99\)
n=20
r=5
\(a_1= ?\)
Substituímos esses valores na fórmula do termo geral:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(99= a_1+(20-1)5\)
\( 99=a_1+95\)
\(a_1=4\)
9 - Calcular a razão de uma P.A., sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que \(a_{23}=50\).
\(a_{23}=50\)
n=23
\(a_1=3r\)
r= ?
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(50=3r+(23-1)r\)
\(50=3r+22r\)
\(50=25r\)
\(r=2\)
10 - Sabendo que \((x+1)\),\((3x-2)\),\((2x+4)\) formam, nessa ordem, uma P.A., calcular o valor de x e a razão dessa P.A.
\(P.A. (x+1,3x-2,2x+4)\)
Sabendo que numa P.A. a diferença entre um termo, a partir do segundo, e o seu antecessor é sempre constante, podemos montar a seguinte equação:
\((2x+4)-(3x-2)=(3x-2)-(x+1)\)
\(2x+4-3x+2=3x-2-x-1\)
\(-x+6=2x-3\)
\(-x-2x=-3-6\) (-1)
\(3x=9\)
\(x=3\)
Para determinar a razão, basta substituir x por 3 na sequencia inicial e efetuar a diferença entre um termo e seu anterior.
\((x+1)\),\((3x-2)\),\((2x+4)\)
\((3+1)\),\((3(3)-2)\),\((2(3)+4)\)
4,7,10
Logo, r=7-4 = 3

1) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por \(S_n=n^2+2n\). O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25

- Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo \((a_1)\) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
- À primeira vista você pode achar que se substituirmos \(n\) por 13 teremos o valor do 13o
termo. Estamos enganados. Então:
- O que devemos fazer é substituir primeiro \(n\) por 1, isso dá
\(S_1=12+2(1)\)
\(S_1=3\)
- Como S1 significa a soma de todos os termos até \(a_1\), ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele \((a_1=3)\)
- Se substituirmos \(n\) por 2, temos:
\(S_2=22+2(2)\)
\(S_2=8\)
- S2 significa a soma de todos os termos até \(a_2\), então é igual à \(a_1+a_2\).
Como já sabemos o valor de a1, logo:
\(S_2=a_1+a_2=8\)
\(3+a_2=8\)
\(a_2=5\)
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(a_{13}=3+(13-1)2\)
\(a_{13}=3+24\)
\(a_{13}=27\)
Resposta certa letra "C"



2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7

- Informações do problema:
\(a_1=112 a_n=250 r=23\)
- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
- A alternativa "E" parece ser a alternativa correta, mas 7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa é a letra "C"




3) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é:
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76

- Informações do problema:
\( a_7=20 a_{10}=32 a_{20}=?\)
- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
\(a_7=a_1+6r a_{10}=a_1 + 9_r\)
\(20=a_1+6r 32=a_1 + 9_r\)
- Formamos um sistema de equações e resolvemos:
\(20=a_1+6r\)
\(32=a_1+9r\)
Vamos isolar o termo \(a_1\) na primeira equação
\(a_1=20-6r\)
Agora vamos substituir este valor na segunda equação
\(32=20-6r+9r\)
\(32-20=9r-6r\)
\(12=3r\)
\(r=12/3\)
\(r=4\)
Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do \(a_1\).
\(20=a_1+6*4\)
\(20=a_1+24\)
\(a_1=-24+20\)
\(a_1= -4\)
Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pede o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.
\(a_{20}=a_1+19r\)
\(a_{20}=-4+19*4\)
\(a_{20}=-4+19*4\)
\(a_20=72\)
Resposta certa letra "C".

1) Dados a5=100 e r=10 , calcule o primeiro termo:

a5=100
n=5
r=10
a1=?

a5=a1+(5-1).r
100=a1+(4).10
100=a1+40
100-40=a1
a1=60

1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
\( a_1=5 \) \( r=11 \) \( a_{13}=? \)
- Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde \( a_n \) será o \( a_{13} \), portanto \( n=13 \).

Agora, substituindo:
\[\begin{aligned}
a_{13} = 5 + (13 - 1) * 11 \\
a_{13} = 5 + (12 * 11) \\
a_{13} = 5 + 132 \\
a_{13} = 137 \\
\end{aligned}\]




2) Sendo \( a_7 = 21 \) e \( a_9 = 27 \) , calcule o valor da razão: \( a_7 = a_1 + (7 - 1)r \)

Substituindo pelos valores
\[\begin{aligned}
21 = a_1 + 6r \\
a_9 = a_1 + (9 - 1)r \\
\end{aligned}\]
Substituindo pelos valores \(27 = a_1 + 8r \)
Note que temos duas incógnitas ( \(a_1\) e \(r\) ) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações.
Vamos isolar o \(a_1\) na primeira equação e substituir na segunda: \( a_1 = 21 - 6r \)
Agora, substituindo na segunda:
\[\begin{aligned}
27 = (21 - 6r) + 8r \\
27 = 21 + 2r\\
27 - 21 = 2r\\
6 = 2r\\
\frac{6}{2} = r\\
r=3
\end{aligned}\]


3) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a

- informações do problema: \( a1 = 23; r = -6; a_n = -13; n = ? \)

- Substituindo na fórmula do termo geral:
\[\begin{aligned}
a_n = a_1 + (n-1)r \\
-13 = 23 + (n - 1)(-6) \\
-13 - 23 = -6n + 6 \\
-36 - 6 = -6n \\
-42 = -6n \\
\end{aligned}\]
Vamos multiplicar os dois lados por (\(-1\))
\[\begin{aligned}
6n = 42 \\
n = \frac{42}{6} \\
n=7 \\
\end{aligned}\]
Resposta certa letra "B"


4) (UCS) O valor de x para que a sequência \( (2x, x+1, 3x) \) seja uma PA é:
(A) \( \frac{1}{2} \)
(B) \( \frac{2}{3} \)
(C) 3
(D) \( \frac{1}{2} \)
(E) 2

- Informações: \( a_1 = 2x; a_2 = x+1; a_3 = 3x \)

- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da

frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:

\[\begin{aligned}

a_2 = a1 + r \\

r = a_2 - a1 \\

a_3 = a_2 + r \\

r = a_3 - a_2

\end{aligned}\]

- Como temos \(r\) igualado nas duas equações, podemos igualar uma a outra, ou seja:

\( a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \)

- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:

\[\begin{aligned}

6n = 42 \\

(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1) \\

x + 1 - 2x = 3x - x - 1 \\

x - 2x - 3x + x= -1 - 1 \\

-3x = -2 \\

\end{aligned}\]

Multiplicando ambos os lados por (-1)

\[\begin{aligned}

3x = 2 \\

x = \frac{2}{3} \\

\end{aligned}\]

Resposta certa letra "B"

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