1) Escreva uma P.A de 8 termos em que \(a_1=6\) e \(r=-4\)
Para começar temos os seguintes dados:
\(a_1=6\)
\(r=-4\)
E para calcular o segundo termo basta somar o nosso primeiro termo e a razão r da P.A dada:
\(a_2=a_1+r\)
\(a_2=6+(-4)\)
\(a_2=2\)
Dessa forma, conseguiremos calcular os próximos 8 termos dessa P.A
Logo, a nossa P.A será: P.A (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
2) Encontre o termo geral da P.A. (2,7,...).
À partir da P.A dada temos os seguintes dados:
\(a_1=2\)
\(a_2=7\)
\(r=a_2-a_1\)
\(r=7-2\)
r=5
Agora é só aplicar os dados do problema na fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{n}=2+(n-1)5\)
\(a_{n}=2+5n-5\)
\(a_{n}=5n-3\)
Logo, \(a_{n}=5n-3.\)
3) Numa P.A \(a_4=12\) e \(a_9=27\).Calcule \(a_{3.}\)
Dos dados que temos, podemos pensar em obter uma P.A em que o nosso a₁ seja o que a quastão nos propõe como \(a_4\) e o \(a_9\) sendo o nosso último termo dessa nova P.A. assim, encontraremos a razão dessa progressão:
P.A (12, __,__,...,27)
Com essa nova P.A., temos os seguintes dados:
\(a_1=12\)
\(a_6=27\)
\(n=6\)
Com esses dados, podemos substituí-los na fórmula do termo geral e encontrar a razão r:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(27=12+(6-1)r\)
\(15=5r\)
\(r=3\)
Assim, a razão da nova P.A é r=3, o que de modo análogo será o mesmo que a P.A inicial.
De tal forma, voltando à P.A inicial e tendo os termos \(a_4=12\) e\( r=3\), podemos assim calcular o termo a₃:
\(a_4=a_3+r\)
\(12=a_3+3\)
\(a_3=9\)
Logo, obtemos \(a_3=9.\)
Obs.: este cálculo poderia também ser mostrado através das Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
4) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
O exercício nos dá uma P.A. no seguinte formato:
P.A.(2,__,__,__,__,__,...,66)
Dessa P.A e do exercício temos os dados abaixo:
r=8
\(a_1=2\)
\( a_{n}=66\)
O que temos que calcular é o n,ou seja, o número de termos entre 2 e 66, podendo isso se calculado pela fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(66=2+(n-1)8\)
\(66-2=8n-8\)
\(64-8=8n\)
\(n=((56)/8)\)
\(n=7\)
Logo, sabemos que a nossa P.A. tem 7 termos, porém o que queremos saber são quantos meios existem entre 2 e 66, assim :
n=7-2
n=5
5) Ache três números em P.A crescente sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
Primeiramente vamos indicar nossa P.A.:
\(P.A. (x-r,x,x+r)\)
Obs.: Para sabermos que a nossa P.A é desse formato basta pensarmos nas Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
Assim, tendo a P.A e os dados do problemas, podemos formar um sistema, onde:
\((x-r)+x+(x+r)=15\) ------ \(3x=15\)
\((x-r)x(x+r)=105\) ---------- \(x(x^2-r^2)=105\)
Resolvendo a primeira parte do sistema, temos:
\(3x=15\)
\(x=5\)
Sabendo que \(x=5\), conseguimos resolver a segunda parte do sistema:
\(x(x^2-r^2)=105\)
\(5(5^2-r^2)=105\)
\(5(25-r^2)=105\)
\(25-r^2=21\)
\(25-21=r^2\)
\(r^2=4\)
\(r=±2\)
Agora vamos verificar para quais valores de r obtemos uma P.A. crescente:
Sendo r=+2 Sendo r=-2
1º termo = x-r=6-(+2)=4 1º termo = x-r=6-(-2)=8
2º termo = x=6 2º termo = x=6
3º termo = x+r=6+(+2)=8 3º termo = x+r=6+(+2)=8
P.A.(4, 6, 8) P.A.(8, 6, 4)
Assim verificado temos que a P.A de termos crescentes pedida onde sua soma é 15 e seu produto é 105 é:
P.A.(4, 6, 8)
6) Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?
Primeiramente podemos pensar no que cada um desses dados está se referindo dentro de uma Progressão Aritmética. assim podemos começar a escrevê-la:
Os termos de nossa P.A. são as linhas escritas em cada dia, assim \(a_1=20\)
A razão é 5 devido à cada dia escrever o número de linhas do dia anterior mais 5, assim \(r=5\)
Logo podemos pensar na P.A da seguinte maneira:
\(P.A.(20, 25,30,...)\)
Sabendo que o livro tem 17 página e cada página com 25 linha, sabemos o total de linhas do livro, que atribuiremos de \(S_{n}=17×25\) ---- \(S_{n}=425\).
Assim temos:
\(a_1=20\)
\(r=5\)
\(S_{n}=425\)
Como querenos encontrar o n, que será o número de dias, e tendo \(a_1\) e r, substituímos na fórmula do termo geral:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{n}=20+(n-1)5\)
\(a_{n}=20+5-n-5\)
\(a_{n}=5-n+15\)
Dessa fórmula ainda não conseguimos sabeo o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro, logo, tendo \(S_{n}=425\), subtituimos o valor encontrado na fórmula da Soma:
\(S_{n}=((a_1+a_n)n)/2\)
\(425=((20+5_n+15)n)/2\)
\(850=(35+5-n)/2\)
\(5_n^2+35_n-850=0\)
Resolvendo essa equação pela fórmula de báskara, encontramos:
\(n=10\) e \(n=16\)
Assim, o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro é \(n=10\).
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